Pembahasan Soal TKA Matematika SMA 2025 Nomor 6-10

Panjang sisi karton adalah 30 cm. Setelah empat sudut dipotong, panjang dan lebar alas kotak menjadi \(30-2x\), sedangkan tinggi kotak adalah \(x\).

Volume kotak:

$$\displaystyle V(x)=x(30-2x)^2$$

Uraikan fungsi tersebut.

$$\displaystyle V(x)=900x-120x^2+4x^3$$

Turunan pertama:

$$\displaystyle V'(x)=900-240x+12x^2$$

Untuk mencari titik stasioner, tetapkan \(V'(x)=0\).

$$\displaystyle 12x^2-240x+900=0$$

Bagi kedua ruas dengan 12.

$$\displaystyle x^2-20x+75=0$$

Faktorkan.

$$\displaystyle (x-5)(x-15)=0$$

Diperoleh \(x=5\) atau \(x=15\). Nilai \(x=15\) membuat panjang dan lebar alas menjadi nol, sehingga tidak menghasilkan kotak yang memiliki volume positif.

Dengan demikian, gunakan \(x=5\) cm.

Volume kotak:

$$\displaystyle V(5)=5(30-2(5))^2$$

$$\displaystyle V(5)=5(20)^2$$

$$\displaystyle V(5)=2.000\text{ cm}^3$$

Jadi, volume maksimum kotak adalah \(2.000\text{ cm}^3\).

Jawaban: D.

Gunakan identitas trigonometri berikut.

$$\displaystyle \sin^2 A+\cos^2 A=1$$

Pindahkan \(\sin^2 A\) ke ruas kanan.

$$\displaystyle \cos^2 A=1-\sin^2 A$$

Karena \(\displaystyle \sin A=\frac1a\), diperoleh

$$\displaystyle \cos^2 A=1-\frac1{a^2}$$

Samakan penyebut.

$$\displaystyle \cos^2 A=\frac{a^2-1}{a^2}$$

Ambil akar kedua ruas.

$$\displaystyle \cos A=\pm\frac{\sqrt{a^2-1}}a$$

Namun, sudut \(A\) merupakan sudut tumpul, yaitu berada di kuadran II. Di kuadran II, sinus bernilai positif, sedangkan cosinus bernilai negatif.

Oleh karena itu,

$$\displaystyle \cos A=-\frac{\sqrt{a^2-1}}a$$

Jawaban: D.

Untuk menentukan kenaikan terbesar, kurangi jumlah produksi suatu bulan dengan jumlah produksi bulan sebelumnya.

April dibandingkan Maret:

$$\displaystyle 151-112=39$$

Juni dibandingkan Mei:

$$\displaystyle 81-18=63$$

Juli dibandingkan Juni:

$$\displaystyle 133-81=52$$

September dibandingkan Agustus:

$$\displaystyle 166-150=16$$

November dibandingkan Oktober:

$$\displaystyle 153-87=66$$

Dari perbandingan tersebut, kenaikan produksi terbesar adalah 66, yaitu dari Oktober ke November.

Jawaban: E.

Modus merupakan nilai yang paling sering muncul. Pada data berkelompok, kelas modus adalah kelas dengan frekuensi terbesar.

Frekuensi terbesar adalah 9, yaitu pada interval 64–66. Dengan demikian, kelas modusnya adalah 64–66.

Rumus modus data berkelompok:

$$\displaystyle Mo=L+\frac{d_1}{d_1+d_2}\times p$$

Keterangan:

\(L=63{,}5\), yaitu tepi bawah kelas modus.

\(d_1=9-6=3\), yaitu selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya.

\(d_2=9-6=3\), yaitu selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya.

\(p=3\), yaitu panjang kelas.

Substitusikan nilai tersebut.

$$\displaystyle Mo=63{,}5+\frac3{3+3}\times3$$

$$\displaystyle Mo=63{,}5+\frac36\times3$$

$$\displaystyle Mo=63{,}5+1{,}5$$

$$\displaystyle Mo=65{,}0$$

Jadi, modus data berkelompok tersebut adalah 65,0.

Jawaban: D.

Pada pemilihan pertama, terdapat 6 kelompok laki-laki dari total 10 kelompok. Peluang kelompok pertama merupakan kelompok laki-laki adalah

$$\displaystyle P(L_1)=\frac6{10}$$

Karena kelompok pertama tidak dikembalikan, jumlah kelompok yang tersisa menjadi 9.

Jika kelompok pertama merupakan kelompok laki-laki, jumlah kelompok perempuan tetap 4. Dengan demikian, peluang kelompok kedua merupakan kelompok perempuan adalah

$$\displaystyle P(P_2\mid L_1)=\frac49$$

Karena kedua kejadian berlangsung secara berurutan, peluang gabungannya diperoleh dengan mengalikan kedua peluang tersebut.

$$\displaystyle P=\frac6{10}\times\frac49$$

$$\displaystyle P=\frac{24}{90}$$

Sederhanakan pecahan.

$$\displaystyle P=\frac4{15}$$

Jadi, peluang kelompok pertama laki-laki dan kelompok kedua perempuan adalah \(\displaystyle\frac4{15}\).

Jawaban: C.