Pembahasan soal TKA Matematika SMA 2025 tidak hanya membutuhkan kemampuan menghitung. Banyak soal justru menguji apakah kita mampu memilih informasi penting, membangun model matematika, membaca grafik, dan menentukan strategi yang paling efisien.
Pada kumpulan soal ini, materi yang muncul sangat beragam. Ada himpunan dan eksponen, fungsi, barisan, sistem pertidaksamaan, geometri, transformasi, trigonometri, statistika, hingga peluang.
Karena itu, strategi terbaik bukan menghafal satu rumus untuk setiap nomor. Kita perlu mengenali struktur soal terlebih dahulu.
Tujuan Pembelajaran
Setelah mempelajari pembahasan ini, kamu diharapkan mampu menyelesaikan soal TKA yang melibatkan operasi bilangan, pemodelan fungsi, barisan dan deret, sistem persamaan dan pertidaksamaan, hubungan sudut dan bangun ruang, kesebangunan, Teorema Pythagoras, transformasi geometri, luas dan volume, perbandingan trigonometri, interpretasi grafik, ukuran pemusatan data, permutasi, serta peluang.
Kamu juga diharapkan mampu memilih strategi yang efisien, memeriksa kewajaran hasil, dan membedakan informasi yang benar-benar diperlukan dari informasi yang hanya berfungsi sebagai pengecoh.
Mari Berpikir
Perhatikan tiga jenis soal berikut.
Soal pertama memberi banyak angka tetapi hanya membutuhkan satu pola sederhana.
Soal kedua menampilkan gambar, tetapi penyelesaiannya justru lebih mudah setelah gambar diterjemahkan menjadi persamaan.
Soal ketiga tampak seperti perhitungan panjang, tetapi yang sebenarnya diuji adalah apakah informasi yang tersedia sudah cukup.
Inilah karakter soal TKA. Kita tidak hanya ditanya berapa jawabannya, tetapi juga dituntut memahami mengapa strategi tertentu paling tepat.
“Genius is one percent inspiration and ninety-nine percent perspiration.” – Thomas Edison
Pembahasan Soal Bilangan dan Aljabar
Diberikan tiga himpunan:
\(A=\{x\mid x\lt6,\ x\) bilangan asli\(\}\)
\(B=\{x\mid x\) bilangan genap, \(x\) bilangan cacah\(\}\)
\(C=\{x\mid x\le10,\ x\) bilangan prima\(\}\)
Hasil dari \((A\cap B)\cup C\) adalah ….
A. \(\{2,3,5,7\}\)
B. \(\{0,2,3,5,7\}\)
C. \(\{2,3,4,5,7\}\)
D. \(\{0,2,3,4,5,7\}\)
E. \(\{2,3,4,5,7,10,12,14\}\)
Tuliskan anggota yang relevan terlebih dahulu.
\(A=\{1,2,3,4,5\}\).
Bilangan genap yang juga terdapat dalam A adalah \(2\) dan \(4\), sehingga
$$\displaystyle A\cap B=\{2,4\}$$
Bilangan prima yang tidak lebih dari \(10\) adalah
$$\displaystyle C=\{2,3,5,7\}$$
Gabungkan keduanya.
$$\displaystyle (A\cap B)\cup C=\{2,3,4,5,7\}$$
Jawaban: C.
Bentuk sederhana dari
$$\displaystyle \frac{3^{\frac23}\times8^{\frac32}}{2^{\frac52}\times9^{\frac56}}$$
adalah ….
A. \(\frac{1}{42}\)
B. \(\frac23\)
C. \(\frac43\)
D. \(6\)
E. \(12\)
Ubah \(8\) dan \(9\) menjadi basis prima.
$$\displaystyle 8=2^3$$
$$\displaystyle 9=3^2$$
Maka
$$\displaystyle 8^{\frac32}=2^{\frac92}$$
$$\displaystyle 9^{\frac56}=3^{\frac53}$$
Substitusikan.
$$\displaystyle \frac{3^{\frac23}\times2^{\frac92}}{2^{\frac52}\times3^{\frac53}}$$
Kurangkan pangkat untuk basis yang sama.
$$\displaystyle 2^{\frac92-\frac52}\times3^{\frac23-\frac53}$$
$$\displaystyle 2^2\times3^{-1}$$
$$\displaystyle \frac43$$
Jawaban: C.
Operasi biner didefinisikan oleh
$$\displaystyle a\odot b=\frac{(a-b)^2+2ab}{a+b}$$
untuk \(a\) dan \(b\) bilangan real tidak negatif.
Jika \(a\odot2=5\), tentukan Benar atau Salah.
1. \(a\) merupakan kelipatan \(3\).
2. \(a\) merupakan bilangan prima.
3. \(a\odot0=6\).
Sederhanakan dahulu operasi binernya.
$$\displaystyle (a-b)^2+2ab=a^2-2ab+b^2+2ab$$
$$\displaystyle =a^2+b^2$$
Karena \(b=2\),
$$\displaystyle \frac{a^2+4}{a+2}=5$$
$$\displaystyle a^2+4=5a+10$$
$$\displaystyle a^2-5a-6=0$$
$$\displaystyle (a-6)(a+1)=0$$
Karena \(a\) tidak negatif, diperoleh \(a=6\).
Pernyataan 1 benar karena \(6\) kelipatan \(3\).
Pernyataan 2 salah karena \(6\) bukan bilangan prima.
Untuk pernyataan ketiga,
$$\displaystyle 6\odot0=\frac{6^2}{6}=6$$
Jadi urutannya adalah Benar, Salah, Benar.
Peningkatan suhu dimodelkan dengan fungsi
$$\displaystyle y=0{,}02x-39{,}9$$
dengan \(x\) menyatakan tahun dan \(y\) peningkatan suhu dalam derajat Celsius.
Pada tahun berapakah peningkatan suhu mencapai \(0{,}7^\circ\text{C}\)?
A. 2000
B. 2003
C. 2025
D. 2030
E. 2345
Karena peningkatan suhu yang ditanyakan \(0{,}7^\circ\text{C}\), masukkan \(y=0{,}7\).
$$\displaystyle 0{,}7=0{,}02x-39{,}9$$
$$\displaystyle 40{,}6=0{,}02x$$
$$\displaystyle x=\frac{40{,}6}{0{,}02}$$
$$\displaystyle x=2030$$
Jadi peningkatan tersebut diperkirakan tercapai pada tahun 2030.
Jawaban: D.
Sebuah tempat kursus memberikan potongan kepada 50 pendaftar pertama dengan aturan \(y=0{,}9x\). Pendaftar ke-50 membayar Rp180.000,00.
Setelah itu datang empat siswa:
- Andi, nilai 90, memiliki Rp285.000,00.
- Budi, nilai 92, memiliki Rp286.000,00.
- Cici, nilai 89, memiliki Rp280.000,00.
- Dini, nilai 95, memiliki Rp287.000,00.
Siswa berprestasi juga mendapat potongan tambahan. Siapakah yang pasti dapat mengikuti kursus?
A. Dini
B. Dini dan Budi
C. Dini, Budi, dan Andi
D. Dini, Cici, Budi, dan Andi
E. Cici dan Andi
Gunakan pembayaran pendaftar ke-50 untuk menemukan harga normal.
$$\displaystyle 180.000=0{,}9x$$
$$\displaystyle x=200.000$$
Jadi harga normal kursus adalah Rp200.000,00.
Empat siswa berikutnya memiliki uang lebih dari Rp200.000,00. Bahkan tanpa memperhitungkan potongan prestasi, keempatnya sudah mampu membayar harga normal.
Potongan prestasi hanya akan membuat biaya semakin kecil.
Jadi, Andi, Budi, Cici, dan Dini semuanya pasti dapat mengikuti kursus.
Jawaban: D.
Pembahasan Soal Barisan dan Pertidaksamaan
Pada barisan kursi pertama terdapat 400 orang pemegang kertas koreo. Baris kedua terdapat 550 orang. Banyaknya orang pada setiap baris berikutnya bertambah dengan pola yang sama.
Banyak orang pada baris ke-5 adalah ….
A. 700 orang
B. 850 orang
C. 1.000 orang
D. 1.150 orang
E. 1.300 orang
Karena pertambahannya tetap, gunakan barisan aritmetika.
Suku pertama \(a=400\).
Bedanya adalah
$$\displaystyle d=550-400=150$$
Rumus suku ke-\(n\):
$$\displaystyle U_n=a+(n-1)d$$
Untuk baris ke-5,
$$\displaystyle U_5=400+(5-1)(150)$$
$$\displaystyle U_5=400+600$$
$$\displaystyle U_5=1.000$$
Jawaban: C.
Kadar asam urat pasien pada hari pertama adalah \(13\) mg/dL dan turun \(20\%\) setiap hari.
Pasien mulai merasa nyaman jika kadarnya di bawah \(7\) mg/dL dan dinyatakan sembuh secara klinis jika kadarnya di bawah \(5\) mg/dL.
Pada hari mana pasien merasa nyaman tetapi belum sembuh secara klinis? Jawaban dapat lebih dari satu.
A. Hari ke-2
B. Hari ke-3
C. Hari ke-4
D. Hari ke-5
E. Hari ke-6
Setiap hari tersisa \(80\%\) dari kadar hari sebelumnya.
Hari ke-2:
$$\displaystyle 13(0{,}8)=10{,}4$$
Hari ke-3:
$$\displaystyle 10{,}4(0{,}8)=8{,}32$$
Hari ke-4:
$$\displaystyle 8{,}32(0{,}8)=6{,}656$$
Hari ke-5:
$$\displaystyle 6{,}656(0{,}8)=5{,}3248$$
Hari ke-6:
$$\displaystyle 5{,}3248(0{,}8)=4{,}25984$$
Kondisi yang dicari adalah
$$\displaystyle 5\le \text{kadar}\lt7$$
Hal tersebut terjadi pada hari ke-4 dan ke-5.
Jawaban: C dan D.
Daerah arsiran dibatasi oleh garis melalui \((-4,0)\) dan \((0,2)\), garis melalui \((0,2)\) dan \((2,0)\), serta sumbu-\(x\). Daerah berada di atas sumbu-\(x\) dan di antara kedua garis.
Sistem pertidaksamaan yang sesuai adalah ….
A. \(x-2y\ge-4,\ x+y\le2,\ x\ge0,\ y\ge0\)
B. \(x-2y\ge-4,\ x+y\le2,\ y\ge0\)
C. \(x-2y\ge-4,\ x+y\ge2,\ y\ge0\)
D. \(2x-y\le4,\ x+y\le2,\ y\ge0\)
E. \(2x-y\ge4,\ x+y\le2,\ x\ge0,\ y\ge0\)
Garis pertama melalui \((-4,0)\) dan \((0,2)\).
Persamaannya adalah
$$\displaystyle x-2y=-4$$
Ambil titik di dalam arsiran, misalnya \((0,1)\).
$$\displaystyle 0-2(1)=-2$$
Karena \(-2\ge-4\), daerah memenuhi
$$\displaystyle x-2y\ge-4$$
Garis kedua melalui \((0,2)\) dan \((2,0)\), sehingga
$$\displaystyle x+y=2$$
Untuk titik \((0,1)\),
$$\displaystyle 0+1\le2$$
maka
$$\displaystyle x+y\le2$$
Daerah berada di atas sumbu-\(x\), sehingga
$$\displaystyle y\ge0$$
Tidak ada syarat \(x\ge0\) karena arsiran juga berada pada \(x\) negatif.
Jawaban: B.
Harga tiga buket memenuhi model berikut, dengan \(x\) harga satu tangkai mawar, \(y\) harga satu tangkai lili, dan \(z\) harga satu tangkai anyelir:
$$\displaystyle 2x+3y+z=85.000$$
$$\displaystyle x+2y+2z=70.000$$
$$\displaystyle 3x+y+z=75.000$$
Jika pembeli membeli buket tipe C dan menambah 2 tangkai lili serta 1 tangkai anyelir, total yang dibayar adalah ….
A. Rp75.000,00
B. Rp102.000,00
C. Rp110.000,00
D. Rp115.000,00
E. Rp116.000,00
Kita tidak perlu menentukan harga setiap jenis bunga satu per satu.
Jumlahkan persamaan buket A dan B.
$$\displaystyle 3x+5y+3z=155.000$$
Kurangi dengan persamaan buket C.
$$\displaystyle (3x+5y+3z)-(3x+y+z)=155.000-75.000$$
$$\displaystyle 4y+2z=80.000$$
Bagi dua.
$$\displaystyle 2y+z=40.000$$
Tambahan 2 lili dan 1 anyelir berarti tambahan biaya Rp40.000,00.
$$\displaystyle 75.000+40.000=115.000$$
Jawaban: D.
Pembahasan Soal Geometri
Dua garis sejajar dipotong oleh sebuah garis transversal. Berdasarkan penamaan sudut pada gambar, pasangan yang ditanyakan adalah:
A. \(\angle A\) dan \(\angle B\)
B. \(\angle A\) dan \(\angle E\)
C. \(\angle B\) dan \(\angle C\)
D. \(\angle B\) dan \(\angle D\)
E. \(\angle E\) dan \(\angle C\)
Pasangan manakah yang jumlah sudutnya \(180^\circ\)? Jawaban dapat lebih dari satu.
\(\angle B\) dan \(\angle C\) merupakan sudut dalam sepihak, sehingga
$$\displaystyle \angle B+\angle C=180^\circ$$
\(\angle B\) dan \(\angle D\) merupakan pasangan sudut berpelurus, sehingga
$$\displaystyle \angle B+\angle D=180^\circ$$
\(\angle C\) dan \(\angle D\) merupakan sudut dalam berseberangan, sehingga keduanya sama besar.
Sementara \(\angle E\) berpelurus dengan \(\angle D\). Karena \(\angle C=\angle D\), diperoleh
$$\displaystyle \angle E+\angle C=180^\circ$$
Jadi pasangan yang benar adalah C, D, dan E.
Sebuah kamar dimodelkan sebagai balok. Rak buku gantung terletak pada dinding \(CDHG\). Papan jadwal tidak boleh ditempatkan pada dinding yang sejajar dengan dinding tempat rak tersebut berada.
Dinding yang dapat dipilih adalah …. Jawaban dapat lebih dari satu.
A. \(CDHG\)
B. \(BCGF\)
C. \(ABFE\)
D. \(BCFA\)
E. \(ADHE\)
Rak berada pada dinding \(CDHG\).
Dinding yang berhadapan dan sejajar dengan \(CDHG\) adalah \(ABFE\), sehingga keduanya tidak dipilih.
\(BCFA\) bukan satu bidang dinding balok yang sah.
Dua dinding samping yang tegak lurus terhadap \(CDHG\) adalah
\(BCGF\) dan \(ADHE\).
Jadi jawaban yang benar adalah B dan E.
Dua trapesium \(KLMN\) dan \(NMPO\) sebangun. Diketahui \(KL=32\) cm, \(OP=18\) cm, dan \(KN=16\) cm.
Panjang \(LM\) adalah ….
A. \(6\sqrt5\) cm
B. \(8\sqrt5\) cm
C. \(9\sqrt5\) cm
D. \(10\sqrt5\) cm
E. \(14\sqrt5\) cm
Karena kedua trapesium sebangun, perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
$$\displaystyle \frac{NM}{KL}=\frac{OP}{NM}$$
$$\displaystyle NM^2=KL\cdot OP$$
$$\displaystyle NM^2=32(18)$$
$$\displaystyle NM=24$$
Pada gambar, bagian mendatar yang berkaitan dengan sisi miring bawah menghasilkan selisih horizontal
$$\displaystyle 32-24=8$$
Tinggi trapesium bawah adalah \(16\) cm.
Maka sisi miring \(LM\) diperoleh dengan Teorema Pythagoras.
$$\displaystyle LM=\sqrt{16^2+8^2}$$
$$\displaystyle LM=\sqrt{320}$$
$$\displaystyle LM=8\sqrt5$$
Jawaban: B.
Salah satu sisi kebun berbentuk miring. Selisih tinggi kedua ujungnya \(500-350=150\) cm dan jarak mendatarnya \(360\) cm.
Diameter pot jahe \(15\) cm, kunyit \(26\) cm, dan lengkuas \(30\) cm.
Tentukan Benar atau Salah.
1. Ada 25 pot jahe yang dapat ditempatkan.
2. Ada 15 pot kunyit yang dapat ditempatkan.
3. Ada 10 pot lengkuas yang dapat ditempatkan.
Cari panjang sisi miring kebun.
$$\displaystyle s=\sqrt{360^2+150^2}$$
$$\displaystyle s=\sqrt{129.600+22.500}$$
$$\displaystyle s=\sqrt{152.100}$$
$$\displaystyle s=390$$
Untuk jahe:
$$\displaystyle \frac{390}{15}=26$$
Jadi pernyataan 1 salah.
Untuk kunyit:
$$\displaystyle \frac{390}{26}=15$$
Pernyataan 2 benar.
Untuk lengkuas:
$$\displaystyle \frac{390}{30}=13$$
Pernyataan 3 salah.
Jadi urutannya adalah Salah, Benar, Salah.
Pembahasan Soal Transformasi dan Pengukuran
Titik \(B\) direfleksikan terhadap garis \(y=1\), kemudian hasilnya dirotasi \(180^\circ\) terhadap titik \(O(0,0)\). Diketahui bayangan akhirnya adalah \(B’=(-4,1)\).
Gambar pilihan yang benar adalah gambar yang menempatkan titik B pada koordinat ….
A. Pilihan A
B. Pilihan B
C. Pilihan C
D. Pilihan D
E. Pilihan E
Misalkan titik awal
$$\displaystyle B=(x,y)$$
Refleksi terhadap \(y=1\) menghasilkan
$$\displaystyle (x,2-y)$$
Rotasi \(180^\circ\) terhadap titik asal mengubah kedua tanda koordinat.
$$\displaystyle (x,2-y)\to(-x,y-2)$$
Diketahui hasilnya \((-4,1)\).
$$\displaystyle -x=-4$$
$$\displaystyle x=4$$
Untuk koordinat kedua,
$$\displaystyle y-2=1$$
$$\displaystyle y=3$$
Jadi titik awal adalah
$$\displaystyle B=(4,3)$$
Koordinat tersebut terdapat pada pilihan B.
Jawaban: B.
Sebuah kelas berukuran \(4\) m kali \(6\) m. Tali hias dipasang dari pojok dinding pintu menuju titik tengah sisi berhadapan pada bagian langit-langit.
Dibuat dua tali dengan panjang sama. Jika tersedia tali sepanjang \(20\) m, sisa tali adalah ….
A. \(6\) m
B. \(10\) m
C. \(11\) m
D. \(13\) m
E. \(15\) m
Karena titik tujuan berada di tengah sisi \(6\) m, jarak dari tengah ke salah satu ujung adalah
$$\displaystyle \frac62=3$$
Satu tali membentuk diagonal segitiga siku-siku dengan sisi \(3\) m dan \(4\) m.
$$\displaystyle l=\sqrt{3^2+4^2}$$
$$\displaystyle l=5$$
Dua tali membutuhkan
$$\displaystyle 2(5)=10$$
Sisa dari gulungan \(20\) m adalah
$$\displaystyle 20-10=10$$
Jawaban: B.
Sebuah ornamen tersusun dari segitiga sama kaki dan setengah lingkaran. Lebar bagian segitiga \(50\) cm, diameter bagian lingkaran \(20\) cm, dan tinggi keseluruhan \(70\) cm.
Jika dibuat dua ornamen, panjang kayu yang dibutuhkan untuk mengelilingi bagian luar adalah ….
A. \(322{,}8\) cm
B. \(352{,}8\) cm
C. \(362{,}8\) cm
D. \(382{,}8\) cm
E. \(445{,}6\) cm
Jari-jari lingkaran adalah \(10\) cm. Karena bagian lingkaran menonjol \(10\) cm ke bawah, tinggi segitiga adalah
$$\displaystyle 70-10=60$$
Setengah alas segitiga adalah \(25\) cm.
Panjang sisi miring segitiga:
$$\displaystyle s=\sqrt{25^2+60^2}$$
$$\displaystyle s=\sqrt{4.225}$$
$$\displaystyle s=65$$
Bagian alas segitiga yang masih tampak pada masing-masing sisi lingkaran adalah
$$\displaystyle \frac{50-20}{2}=15$$
Panjang busur setengah lingkaran:
$$\displaystyle \frac12\pi d$$
$$\displaystyle =\frac12(3{,}14)(20)$$
$$\displaystyle =31{,}4$$
Keliling satu ornamen:
$$\displaystyle 65+65+15+15+31{,}4=191{,}4$$
Untuk dua ornamen:
$$\displaystyle 2(191{,}4)=382{,}8$$
Jawaban: D.
Salah satu diagonal sebuah layang-layang panjangnya \(20\) cm. Ditanyakan apakah keliling layang-layang dapat ditentukan.
Diberikan dua pernyataan:
(1) Luas layang-layang \(160\text{ cm}^2\).
(2) Panjang salah satu sisinya \(10\) cm.
A. Pernyataan (1) saja cukup, tetapi (2) saja tidak cukup.
B. Pernyataan (2) saja cukup, tetapi (1) saja tidak cukup.
C. Kedua pernyataan bersama-sama cukup, tetapi masing-masing saja tidak cukup.
D. Masing-masing pernyataan sendiri sudah cukup.
E. Kedua pernyataan tetap tidak cukup.
Pernyataan (1) saja.
Rumus luas layang-layang adalah
$$\displaystyle L=\frac12d_1d_2$$
Maka
$$\displaystyle 160=\frac12(20)d_2$$
$$\displaystyle d_2=16$$
Kita mengetahui dua diagonal, tetapi belum mengetahui bagaimana diagonal \(20\) cm terbagi pada titik potongnya. Keliling belum dapat ditentukan secara unik.
Jadi pernyataan (1) saja tidak cukup.
Pernyataan (2) saja.
Satu diagonal \(20\) cm dan satu sisi \(10\) cm juga belum menentukan sisi pasangan lainnya.
Jadi pernyataan (2) saja tidak cukup.
Kedua pernyataan bersama-sama.
Dari luas diperoleh diagonal lain \(16\) cm. Salah satu diagonal layang-layang membagi diagonal lain menjadi dua bagian \(8\) cm.
Dengan salah satu sisi \(10\) cm, diperoleh bagian diagonal lainnya:
$$\displaystyle 10^2=8^2+x^2$$
$$\displaystyle x^2=36$$
$$\displaystyle x=6$$
Bagian diagonal \(20\) cm yang lain adalah
$$\displaystyle 20-6=14$$
Sisi pasangan lainnya dapat ditentukan dengan Pythagoras.
$$\displaystyle s=\sqrt{14^2+8^2}$$
$$\displaystyle s=2\sqrt{65}$$
Dengan demikian, keliling dapat ditentukan secara unik.
Jawaban: C.
Sebuah kardus helm berukuran \(20\text{ cm}\times20\text{ cm}\times30\text{ cm}\). Bak truk berukuran \(120\text{ cm}\times240\text{ cm}\times150\text{ cm}\).
Banyak kardus maksimum yang dapat dimuat adalah ….
A. 336 kardus
B. 360 kardus
C. 384 kardus
D. 432 kardus
E. 504 kardus
Bandingkan volume truk dengan volume satu kardus.
Volume bak:
$$\displaystyle 120(240)(150)$$
Volume kardus:
$$\displaystyle 20(20)(30)$$
Banyak kardus:
$$\displaystyle \frac{120\cdot240\cdot150}{20\cdot20\cdot30}$$
$$\displaystyle =6\cdot12\cdot5$$
$$\displaystyle =360$$
Ukuran-ukuran tersebut juga memungkinkan penyusunan tanpa menyisakan ruang dalam model soal.
Jawaban: B.
Sebuah lampu berbentuk tabung berongga tanpa alas dan tutup mempunyai diameter \(14\) cm dan tinggi \(25\) cm. Selimut tabung akan dilapisi stiker.
Satu lembar stiker menutupi \(300\text{ cm}^2\) dan harganya Rp9.000,00.
Biaya minimum untuk membuat 8 lampu adalah ….
A. Rp72.000,00
B. Rp108.000,00
C. Rp252.000,00
D. Rp270.000,00
E. Rp288.000,00
Karena tabung tanpa alas dan tutup, yang dilapisi hanya selimutnya.
$$\displaystyle L=\pi dh$$
$$\displaystyle L=\frac{22}{7}(14)(25)$$
$$\displaystyle L=1.100\text{ cm}^2$$
Untuk 8 lampu:
$$\displaystyle 8(1.100)=8.800\text{ cm}^2$$
Banyak lembar stiker:
$$\displaystyle \frac{8.800}{300}=29\frac13$$
Stiker harus dibeli dalam lembar utuh, sehingga diperlukan 30 lembar.
$$\displaystyle 30(9.000)=270.000$$
Jawaban: D.
Pembahasan Soal Trigonometri
Pada gambar, \(AD\perp BC\), \(AB=DC=4\) cm, dan
$$\displaystyle \cos\alpha=\frac35$$
Tentukan Benar atau Salah.
1. \(\sin\beta=\frac{\sqrt7}{4}\).
2. \(\cos\beta=\frac{\sqrt7}{5}\).
3. \(\tan\beta=\frac{3\sqrt7}{7}\).
Pada segitiga siku-siku ADC,
$$\displaystyle \cos\alpha=\frac{AD}{AC}=\frac35$$
Misalkan \(AD=3k\) dan \(AC=5k\).
Karena \(DC=4\), gunakan Pythagoras.
$$\displaystyle (3k)^2+4^2=(5k)^2$$
$$\displaystyle 9k^2+16=25k^2$$
$$\displaystyle k=1$$
Jadi \(AD=3\).
Pada segitiga ABD, diketahui \(AB=4\).
$$\displaystyle BD^2+3^2=4^2$$
$$\displaystyle BD^2=7$$
$$\displaystyle BD=\sqrt7$$
Untuk sudut \(\beta\):
$$\displaystyle \sin\beta=\frac{AD}{AB}=\frac34$$
Pernyataan 1 salah.
$$\displaystyle \cos\beta=\frac{BD}{AB}=\frac{\sqrt7}{4}$$
Pernyataan 2 salah.
$$\displaystyle \tan\beta=\frac{AD}{BD}=\frac3{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}$$
Pernyataan 3 benar.
Jadi urutannya adalah Salah, Salah, Benar.
Pembahasan Soal Data dan Peluang
Sebuah grafik menunjukkan jumlah lulusan tiga sekolah pada tahun 2017 sampai 2025.
Tentukan pernyataan yang sesuai dengan grafik.
A. Banyak lulusan SMA 1 Bintang selalu bertambah mulai tahun 2020.
B. Pada tahun 2017 sampai 2020, lulusan ketiga sekolah selalu bertambah.
C. Banyak lulusan SMK Kejora konsisten naik selama lima tahun terakhir.
D. Banyak lulusan SMA 2 Bintang tetap sama selama tiga tahun terakhir.
E. Banyak lulusan ketiga sekolah pada tahun 2023 menurun dibanding tahun sebelumnya.
Baca setiap garis secara terpisah. Jangan menilai grafik hanya dari kecenderungan keseluruhan.
Pernyataan A benar. Data SMA 1 Bintang menunjukkan kenaikan mulai tahun 2020.
Pernyataan B salah karena pada rentang 2017 sampai 2020 tidak semua sekolah selalu naik pada setiap tahun.
Pernyataan C salah karena grafik SMK Kejora mengalami penurunan pada tahun 2023.
Pernyataan D benar karena data SMA 2 Bintang pada tiga tahun terakhir tetap sekitar 300 siswa.
Pernyataan E salah karena pada 2023 tidak semua sekolah turun. SMA 1 Bintang justru naik.
Jadi pernyataan yang benar adalah A dan D.
Lima stan dikelola oleh pedagang A, B, C, D, dan E. Stan C harus tepat berada di antara stan A dan D.
Banyak susunan yang memenuhi adalah ….
A. 6 susunan
B. 12 susunan
C. 120 susunan
D. 240 susunan
E. 720 susunan
Agar C tepat berada di antara A dan D, terdapat dua blok yang mungkin:
A-C-D
atau
D-C-A.
Anggap blok tersebut sebagai satu objek.
Bersama B dan E, ada tiga objek yang disusun.
$$\displaystyle 3!=6$$
Karena bloknya mempunyai dua kemungkinan arah,
$$\displaystyle 2(6)=12$$
Jawaban: B.
Jumlah pengunjung perpustakaan selama Senin sampai Jumat adalah
\(4,\ p,\ 5,\ r,\ 6\).
Rata-ratanya \(6\), jumlah pengunjung setiap hari antara \(2\) dan \(10\), serta mediannya \(6\).
Tentukan Benar atau Salah.
1. Pengunjung hari Selasa pasti lebih banyak daripada semua hari lain.
2. Pengunjung hari Kamis pasti lebih dari 5 orang.
3. Pengunjung hari Jumat dan Kamis mungkin sama.
Dari rata-rata, jumlah seluruh data adalah
$$\displaystyle 5(6)=30$$
Maka
$$\displaystyle 4+p+5+r+6=30$$
$$\displaystyle p+r=15$$
Agar median lima data tersebut sama dengan \(6\), nilai \(p\) dan \(r\) yang memenuhi adalah
\((6,9)\), \((7,8)\), \((8,7)\), atau \((9,6)\).
Pernyataan 1 salah. Misalnya \(p=6\) dan \(r=9\), sehingga Selasa bukan yang terbesar.
Pernyataan 2 benar karena semua kemungkinan nilai \(r\) adalah \(6,7,8,\) atau \(9\), semuanya lebih dari \(5\).
Pernyataan 3 benar karena dapat terjadi \(r=6\), sama dengan jumlah pengunjung hari Jumat.
Jadi urutannya adalah Salah, Benar, Benar.
Sebuah kotak berisi 60 angpao. Isinya:
- 15 angpao kupon Rp25.000,00;
- 12 angpao kupon Rp50.000,00;
- 10 angpao set sendok-garpu;
- 8 angpao pemanas air;
- sisanya kosong.
Peluang mengambil angpao kosong adalah ….
A. \(\frac1{15}\)
B. \(\frac15\)
C. \(\frac14\)
D. \(\frac5{12}\)
E. \(\frac5{11}\)
Hitung dahulu banyak angpao berhadiah.
$$\displaystyle 15+12+10+8=45$$
Angpao kosong adalah
$$\displaystyle 60-45=15$$
Maka peluangnya
$$\displaystyle P=\frac{15}{60}$$
$$\displaystyle P=\frac14$$
Jawaban: C.
Sebuah kotak undian berisi:
- 6 kertas Minuman Gratis;
- 4 kertas Makanan Gratis;
- 5 kertas kosong.
Kertas kosong selalu dikembalikan ke kotak jika terambil, sedangkan kertas hadiah tidak dikembalikan.
Ani merupakan orang kelima yang mengambil undian. Kondisi empat pengambilan sebelumnya yang membuat peluang Ani memperoleh hadiah tetap \(\frac23\) adalah ….
A. 1 minuman gratis, 1 makanan gratis, dan 2 kertas kosong
B. 2 makanan gratis dan 2 minuman gratis
C. 2 minuman gratis dan 2 kertas kosong
D. 4 kertas kosong
E. 4 minuman gratis
Pada awalnya terdapat 10 kertas hadiah dari total 15 kertas.
Misalkan \(x\) kertas hadiah sudah terambil oleh empat orang sebelumnya.
Karena kertas kosong dikembalikan, jumlah kertas yang tersisa adalah \(15-x\), sedangkan hadiah tersisa \(10-x\).
Diketahui peluang hadiah bagi Ani tetap \(\frac23\).
$$\displaystyle \frac{10-x}{15-x}=\frac23$$
Kalikan silang.
$$\displaystyle 3(10-x)=2(15-x)$$
$$\displaystyle 30-3x=30-2x$$
$$\displaystyle x=0$$
Artinya, belum ada satu pun kertas hadiah yang keluar.
Keempat orang sebelumnya harus memperoleh kertas kosong. Karena kertas kosong selalu dikembalikan, isi kotak sebelum Ani tetap 6 minuman, 4 makanan, dan 5 kosong.
Jawaban: D.
Kunci Jawaban Ringkas
1. C
2. C
3. Benar, Salah, Benar
4. D
5. D
6. C
7. C dan D
8. B
9. D
10. C, D, dan E
11. B dan E
12. B
13. Salah, Benar, Salah
14. B
15. B
16. D
17. C
18. B
19. D
20. Salah, Salah, Benar
21. A dan D
22. B
23. Salah, Benar, Benar
24. C
25. D
Pola Penting dari 25 Soal
Kumpulan soal ini memperlihatkan bahwa soal TKA tidak selalu menjadi sulit karena hitungannya panjang. Banyak nomor justru dapat diselesaikan lebih cepat setelah kita menemukan struktur yang tepat.
Pada soal himpunan, tuliskan anggota yang benar-benar diperlukan.
Pada eksponen, samakan basis sebelum mengoperasikan pangkat.
Pada fungsi kontekstual, tentukan arti setiap variabel sebelum memasukkan angka.
Pada barisan, periksa apakah selisih atau rasionya tetap.
Pada grafik pertidaksamaan, tentukan garis batas lalu gunakan titik uji.
Pada sistem persamaan, jangan selalu mencari semua variabel. Cari kombinasi variabel yang langsung ditanyakan.
Pada geometri, ubah gambar menjadi hubungan panjang, kesebangunan, sudut, atau Pythagoras.
Pada soal data, kata seperti selalu, pasti, dan mungkin harus diperiksa dengan hati-hati.
Pada peluang, pastikan apakah objek yang sudah diambil dikembalikan atau tidak karena kondisi ini mengubah ruang sampel.
Strategi Efisien Mengerjakan Soal TKA Matematika
Pertama, baca tujuan soal. Jangan menghitung sebelum mengetahui apa yang sebenarnya ditanyakan.
Kedua, sederhanakan informasi. Grafik, tabel, atau cerita panjang sering dapat diringkas menjadi satu persamaan atau satu hubungan geometri.
Ketiga, cari konsep utama. Apakah soal membutuhkan barisan, Pythagoras, kesebangunan, peluang, atau sistem persamaan?
Keempat, manfaatkan pilihan jawaban. Pilihan dapat digunakan untuk mengecek hasil, tetapi bukan menggantikan penalaran.
Kelima, lakukan pengecekan cepat. Tanyakan apakah nilai yang diperoleh masuk akal terhadap gambar, satuan, dan konteks soal.
Cek Pemahaman
Mengapa pada soal buket bunga kita tidak perlu mencari harga mawar, lili, dan anyelir satu per satu?
Mengapa informasi tinggi kelas pada soal tali hias tidak diperlukan untuk menghitung panjang tali?
Bagaimana kata “pasti” dan “mungkin” mengubah cara kita memeriksa pernyataan pada soal statistika?
Mengapa pada soal undian terakhir kertas kosong yang dikembalikan tidak mengubah komposisi kotak?
Refleksi
Dari 25 soal tersebut, pada nomor mana strategi menentukan model lebih penting daripada perhitungan?
Bagaimana cara membedakan informasi utama dan informasi pengecoh pada soal kontekstual?
Jika suatu hasil hitung tidak tersedia dalam opsi, pemeriksaan apa yang sebaiknya dilakukan terlebih dahulu?
Apa pola penyelesaian yang muncul berulang pada soal geometri meskipun gambarnya berbeda?
Kesimpulan
Pembahasan soal TKA Matematika SMA 2025 ini menunjukkan bahwa kemampuan matematika yang dibutuhkan bukan sekadar menghitung cepat.
Siswa perlu memahami konsep, menerjemahkan situasi ke model matematika, memilih strategi yang efisien, dan mengevaluasi hasil.
Dari 25 soal yang dibahas, pola pentingnya adalah pahami informasi → tentukan konsep → bangun model → hitung seperlunya → periksa kembali.
Pola tersebut berlaku pada materi bilangan, aljabar, geometri, data, maupun peluang.
Semakin terbiasa mengenali struktur soal, semakin sedikit perhitungan yang sebenarnya perlu dilakukan. Inilah salah satu kunci menghadapi soal TKA yang menekankan penalaran.
FAQ
Apakah soal TKA Matematika lebih banyak menguji hitungan atau penalaran?
Keduanya diperlukan, tetapi banyak soal dirancang agar siswa harus memilih model atau strategi yang tepat sebelum melakukan perhitungan.
Bagaimana cara belajar dari pembahasan soal TKA?
Jangan hanya membaca jawaban akhir. Tutup bagian pembahasan, kerjakan sendiri, kemudian bandingkan strategi dan langkah yang digunakan.
Apakah semua informasi pada soal kontekstual harus digunakan?
Tidak. Beberapa soal menyertakan informasi tambahan. Kemampuan menentukan informasi yang relevan merupakan bagian dari penalaran matematika.
Apa yang harus dilakukan jika soal berbentuk grafik atau gambar?
Terjemahkan gambar menjadi informasi matematis seperti koordinat, panjang, gradien, persamaan garis, hubungan sudut, atau perbandingan sisi.
Bagaimana cara meningkatkan kecepatan mengerjakan soal TKA Matematika?
Latih pengenalan pola. Semakin cepat kamu mengenali bahwa sebuah soal merupakan barisan aritmetika, kesebangunan, Pythagoras, sistem persamaan, atau peluang bersyarat, semakin singkat proses penyelesaiannya.
